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1. 집합
집합
- 여러 원소들(element)의 모임으로 중복된 원소를 가지지 않음. (중복 X, 순서 X)
집합의 표기법
(1) 원소나열법: 집합에 속하는 원소들을 일일이 나열하는 방법
ex) A = {1, 2, 3, 4, 5}
(2) 조건제시법: 집합에 포함되는 원소들의 성질을 조건식으로 제시하는 방법
ex) A = {x | 0 < x ≤ 10, x는 자연수}
유한집합 / 무한집합
집합 A에 속하는 원소의 개수를 |A|로 표현하며, 원소가 유한개인 집합을 유한집합, 원소가 무한개인 집합을 무한집합이라고 한다.
집합의 종류
전체 집합 : 논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합으로, 보통 알파벳 U로 표기한다.
공집합 : 원소를 하나도 가지지 않는 집합으로 ∅ 또는 {} 로 표기
집합의 포함관계
집합 A, B에 속하는 원소가 모두 동일할 때, 두 집합은 서로 같다고 하며 기호로 A = B로 표시한다.
부분집합: A ⊆ B
집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 A는 B의 부분집합이라 하고 위와 같은 기호로 표시한다.
진부분집합 : A ⊂ B
집합 A가 집합 B의 부분집합이지만 A ≠ B 인 경우 A 는 B의 진부분집합이라 한다.
원소와 집합의 포함 관계
원소 a가 집합 A에 포함될 때, a ∈ A로 표시하고 a는 A의 원소다 라고 읽는다.
원소 a가 집합 A에 포함되지 않을 때, a ∉ A로 표시하고 a는 A의 원소가 아니다 라고 읽는다.
합집합 : A ∪ B
A의 원소들과 B의 원소들을 모두 모은 집합을 A와 B의 합집합이라 하며 위와 같이 표기한다.
교집합 : A ∩ B
A에 속하는 원소임과 동시에 B에도 속하는 원소들의 집합을 교집합이라 하며 위와 같이 표기한다.
서로소
집합 A와 B에 공통으로 속한 원소가 하나도 없을 경우 서로소라 부른다.
차집합 : A - B
A의 원소 중에서 B에 속하지 않는 원소만으로 이루어진 집합을 A - B라 하며 A - (A ∩ B)와 같다.
여집합 :Ac로 표기하며 c가 지수로 올라간 모양
집합 A에 속하지 않지만 전체집합 U에 속하는 원소들의 집합을 A의 여집합이라 하며 위와 같이 표기한다.
2. 명제와 논리
명제
- 객관적으로 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 수식
- 보통 참인 경우 알파벳 T로 거짓인 경우 알파벳 F로 표시
- 참, 거짓을 가리키는 값을 진릿값(Truth value)라고 한다.
논리
- 명제와 연산자들로 이루어진 명제가 참인지 거짓인지를 판별하는 수학적 논리
부정 (not) : ￢
명제 p에 대하여 p의 진릿값을 반대로 갖는 명제를 ￢p라 표기하고 p가 아니다 또는 not p라고 읽는다.
￢p p true false false true
논리곱 (and) : ∧
명제 p, q에 대하여 p와 q가 모두 참일 경우에만 참이고, 그렇지 않을 경우 거짓이 되는 명제
p ∧ q p q true true true false true false false false true false false false
논리합 (or) : ∨
명제 p, q에 대하여 p와 q가 모두 거짓일 경우에만 거짓이고, 그렇지 않을 경우 모두 참이 되는 명제
p ∨ q p q true true true true true false true false true true false false
조건 명제 : p → q
명제 p, q에 대하여 p가 가정이고 q가 결론이 되는 명제, p이면 q이다 또는 if p then q 라고 읽음
조건명제 p → q의 진릿값은 p가 거짓일 경우 항상 참이고 p가 참일 경우 q의 진릿값과 일치
p → q p q true true true false true false true false true true false false
역
조건명제 p → q에 대하여 가정과 결론이 바뀐 q → p를 p → q의 역이라 부른다.
q → p p q true true true true true false false false true true false false
이
조건명제 p → q에 대하여 가정과 결론을 각각 부정한 ￢p → ￢q를 p → q의 이라 부른다.
￢p → ￢q p q true true true true true false false false true true false false
대우
조건명제 p → q에 대하여 가정과 결론이 바뀐 동시에 부정한 ￢q → ￢p를 p → q의 대우라 부른다.
￢q → ￢p p q true true true false true false true false true true false false
명제함수 : P(x)
변수 x를 포함하여 진릿값을 판별할 수 있는 문장이나 수식
ex) P(x)가 x * 2 = 4 라는 명제함수 일 때, P(1)은 1 * 2 = 4 이므로 거짓, P(2)는 2 * 2 = 4 이므로 참
한정자 : 논의 영역의 범위를 정의
전체한정자 : ∀
논의 영역에 속하는 모든 값에 대하여 라는 말을 쓸 때 ∀라는 수학기로를 쓰며 영어로 for every라고 읽는다.
∀xP(x) 또는 for every x, P(x)라는 명제는 논의의 대상이 되는 모든 x에 대하여 참일 경우 참인 명제
존재한정자: ∃
논의 영역에 속하는 어떠한 값이 존재하여 라는 말을 쓸 때 ∃라는 수학기호를 쓰며 영어로 there exists라고 읽는다.
∃xP(x) 또는 there exists x, P(x)라는 명제는 P(x)가 참이 되는 x가 하나라도 있을 경우 참이 되는 명제
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